Частотно-часовий аналіз сигналів на основі функцій поведінки і арифметичних рядів. Частина 1. Аналіз підходів, опис методу.

В. П. Бочарніков

Анотація


Матеріальним носієм інформації щодо стану об’єктів є сигнали, класифікація яких досить повно розглянуті. Як правило, на сьогодні, на підставі теореми відліків сигнали представляються в дискретному вигляді. У цьому випадку впорядкована послідовність результатів вимірювань сигналу, зафіксованих в послідовні моменти часу, прийнято називати часовим рядом.

Під час вирішення цих завдань для обробки сигналів застосовуються як просторово-часові, так і частотні інструменти обробки сигналів. Як показала практика, будь-який просторово-часовий сигнал може бути описаний сукупністю базисних функцій.

Найбільш часто для отримання спектру використовується розкладання по ортогональних функціях.

Найбільш широке розповсюдження отримав класичний підхід на основі прямого та зворотного перетворення Фур’є. Ці перетворення є хорошим інструментом для вивчення стаціонарних процесів. Перетворення Фур’є забезпечує відображення в точку інформації про періодичність функції у процесі переходу з часової області в частотну.

Перетворення Фур’є забезпечує ефективний аналіз стаціонарних часових рядів у частотної області. Однак результати застосування до реальних часових рядів відомих критеріїв, що дають змогу перевірити статистичну гіпотезу про стаціонарність ряду показують, що більшість з них виявляється нестаціонарними.

Останнім часом широкого поширення набули підходи до аналізу часових рядів на основі вейвлет-перетворень. Незважаючи на досить високу ефективність вейвлет-аналізу нестаціонарних часових рядів, як показала практика, є низка складнощів у їх використанні. Зокрема у разі використання вейвлет-перетворень необхідно враховувати ряд спотворень.

Метою статті є висвітлення альтернативного підходу до аналізу часових рядів, який, деякою мірою, не матиме ключових недоліків Фур’є аналізу, матиме переваги вейвлет-перетворень, але через це буде простіше їх в реалізації і враховуватиме нестаціонарну поведінку системи, що генерує досліджуваний сигнал.

Запропонований підхід у цілому дає змогу розв’язати задачу частотно-часового аналізу нестаціонарних дискретних сигналів, які представляються часовими рядами. Простота розрахунків, які не потребують використання інтегрування функцій, суттєво спрощує підхід визначення частотних спектрів.

Ключові слова


Часовий ряд; частотно-часовий аналіз; р-адичні числа; функції поведінки систем; системний аналіз; ідентифікація; арифметичні ряди; частотні спектри.

Повний текст:

PDF

Посилання


Meffert B. Hochmuth O. Werkzeuge der Signalverarbeitung. Grundlagen, Anwendungsbeispiele, bungsaufgaben. 2. Auflage. Humboldt-Universitat zu Berlin, (2018). – 296 p.

Lange F. H. Signale und Systeme. Band 3. Regellose Vorträge. Einführung in die Informationstheorie, Stochastik und Korrelationstechnik / F.H. Lange . – Berlin : VEB Verlag Technik, (1971) . – 391 р.

Unbehauen R.: Systemtheorie 1: Allgemeine Grundlagen, Signale und lineare Systeme im Zeit- und Frequenzbereich. Oldenbourg, (2002). –583 p.

Сафиуллин Н. Т. Разработка методики анализа временных рядов с помощью преобразования Хуанга-Гильберта. Диссертация. ФГАОУ ВПО “Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина”. Новосибирск, 2015. – 193 с.

Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: прогноз и управление. М: МИР, 1974. – 406 с.

Daubechies, I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Communications on pure and applied mathematics. XLI (1988) 7, p. 909-996.

Harmuth, H. F. Transmission of Information by Orthogonal Functions. New York: Springer-Verlag, 1969

J. Kovaˇceviґc, V. K. Goyal, M. Vetterli. Fourier and Wavelet Signal Processing. (2013). – 272 р.

Beauchamp, K.G. Applications of Walsh and Related Functions. Orlando: Academic Press, (1984). – 308 p.

Heil C., Walnut D. Continuous and discrete wavelet transforms. SIAM Review, 31 (4), (1989). – P. 628–666

Rioul O., Duhamel P. Fast algorithms for discrete and continuous wavelet transforms. IEEE Trans. Inform. Th., sp. iss. Wavelet Transforms and Multiresolution Signal Analysis, (1992). – 38(2). – P. 569–586.

Радиотехнические цепи и сигналы. Задачи и задания: Учеб. пособие / В. Я. Баскей, В. Н. Васюков, Л. Г. Зотов, В. М. Меренков, В. П. Разинкин, А. Н. Яковлев/ Под ред. проф. А. Н. Яковлева. – Новосибирск: НГТУ, 2002. – 340 c.

Dickey D. A., Fuller W. A. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root / Journal of the American Statistical Association. - 74. (1979). – P. 427–431.

Kwiatkowski D., Phillips, P.; Schmidt, P., Shin, Y. Testing the null hypothesis of stationarity against the alternative of a unit root. Journal of Econometrics. (1992) 54 (1–3). – P. 159–178.

Gabor D. Theory of communication // Journal IEE (London). (1946) Vol. 93. – P. 429–457.

Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. //Commun. On Pure and Appl. (1998) Vol.41. – P. 909–996.

Dai G. Modal wave-front reconstruction with Zernike polynomials and Karhunen-Loeve functions, JOSA A, Vol 13, Issue 6, (1996). – P. 1218–1225

Коэн. Время-частотные распределения: Обзор // ТИИЭР. 1989. – Т. 77. № 10. – С. 72–120.

Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing The Sparse Way. 3rd. Edition. Academic Press, Inc. Orlando, FL, USA (2008). – Р. 851.

Кулаичев А. П. Критика вейвлет анализа ЭЭГ. Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. № 12 (95) 2016. Ч.1 – С. 47-58.

Morlet J. Grossmann A. Sampling theory and wave propagation // Issues in Acoustic signal/Image processing and recognition. (1983) Vol. 1. – P. 233–261.

Christopher Torrence and Gilbert P. Compo. A Practical Guide to Wavelet Analysis // Bulletin of the American Meteorological Society. 1998. – V. 79. – P. 61.

Huang N. E. The Hilbert-Huang transform and its applications / Ed. By S.S.Shen. Interdisciplinary mathematical sciences. 5 Toh Tuck Link, Singapore 596224: World Scientiųc Publishing Company Co. Pte. Ltd., (2005). – P. 311.

Huang N. E., Shen Z., Long S. R. et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis // Proc. R. SOC. London, Ser. A. (1998) no. 454. – P. 903–995.

Wu Z., Huang N. E. Ensemble Empirical Mode Decomposition: a noise assisted data analysis method // Advances in Adaptive Data Analysis. (2008) Vol. 1, no. 1. – P. 1–41.

Klir G. Elias D. (1985) Architecture of Systems Problem Solving. New York, Plenum Press, 354 p.

Bocharnikov V., Bocharnikov I., Sveshnikov S. Fundamentals of the systemic organizations management. Theory and Practice. LAP LAMBERT Academic Publishing, Berlin, 2012. – 296 p.

Бочарников В. П. Fuzzy-технология. Модальности и принятие решений при маркетинговых коммуникациях. - Киев: Ника-центр, Эльга. 2002. – 224 с.

William A. Pearlman, Amir Said. Digital Signal Compression: Principles and Practice. - Cambridge University Press, (2011). – P. 83

Hensel K. Untersuchung der Fundamentalglelchung einer Gattung fur eine reelle Prlmzahl als Modul und Bestimmung der Theiler Ihrer Discriminante // J. Reine Angew. Math. (1894), V. 113. – P. 61–83.

Каток С. Б. p–адический анализ в сравнении с вещественным / Пер. с англ. П. А. Колгушкина.

М. МЦНМО, 2004. – 112 с.

Uyttenbove, H. J., Computer-aided systems modeling: An assemblage of methodological tools for systems problem solving. Ph.D. dissertation, School of Advanced Technology, SUNY-Binghamton, 1978.

Higashi M., Klir J. Measure of uncertainty and information based of possibility distribution. International Journal of General System, 9, No.1, 1983. – p. 43–58

Comstock F. Uyttenbove, H. J. A system approach to grading of flight symulator students. Journal of Aircraft, 16, No. 11,1979, – P. 780–786.

Коэн И. Время-частотные распределения: Обзор // ТИИЭР. Т. 77. № 10, 1989. – С. 72–120.

Лизунова Н. А., Шкроба С. П. Матрицы и системы линейных уравнений. – М.: ФИЗМАТЛИТ., 2007. – 352 с.

Borgwardt, Karl-Heinz. The simplex algorithm takes on average D steps for a cube. The simplex method: A probabilistic analysis. - Berlin: Springer-Verlag, 1987. – Vol. 1. – P. 268.

Bocharnikov V., Bocharnikov I. Discrete fuzzy filter of UAV’s flight parameters. ISSN 1813-1166. Proceedings of the NAU. 2010. №3. – P. 30–39.

Bocharnikov V., Bocharnikov I. Simplified and adopted to the MatLab fuzzy filter of UAV’s flight parameters. 2013 IEEE 2nd International Conference Actual Problems of Unmanned Air Vehicles Developments Proceedings. Kiev, Ukraine 15-17 October 2013. – P. 41–47

Bocharnikov V., Bocharnikov I. Оptimal discrete fuzzy filter of UAV’s flight parameters. ISSN 1813-1166. Proceedings of the NAU. 2012. №2. – P. 22–29.